Como en el caso de otras palabras que admiten una doble pronunciación y acentuación (llana o esdrújula), ambas formas, con el significado de ‘espacio o ciclo de tiempo’, son correctas, aunque lo coherente es optar por solo una de ellas a lo largo de un mismo texto.
Con el significado que hace referencia a la acción de menstruar, la RAE recomienda el uso de la forma llana periodo.